作者:深圳教育在线 来源:www.szedu.net 更新日期：2012-7-7
难点3 求解函数解析式
求解函数解析式是高考重点考查内容之一，需引起重视。本节主要帮助考生在深刻理解函数定义的基础上，掌握求函数解析式的几种方法，并形成能力，并培养考生的创新能力和解决实际问题的能力。
●难点磁场
（****）已知f（2-cosx）=cos2x+cosx,求f（x-1）。
●案例探究
[例1]（1）已知函数f（x）满足f（logax）= （其中a>0,a≠1,x>0），求f（x）的表达式。
（2）已知二次函数f（x）=ax2+bx+c满足|f（1）|=|f（-1）|=|f（0）|=1,求f（x）的表达式。
命题意图：本题主要考查函数概念中的三要素：定义域、值域和对应法则，以及计算能力和综合运用知识的能力。属****题目。
知识依托：利用函数基础知识，特别是对"f"的理解，用好等价转化，注意定义域。
错解分析：本题对思维能力要求较高，对定义域的考查、等价转化易出错。
技巧与方法：（1）用换元法；（2）用待定系数法。
解：（1）令t=logax（a>1,t>0;0<a<1,t<0），则x=at.
因此f（t）= （at-a-t）
∴f（x）= （ax-a-x）（a>1,x>0;0<a<1,x<0）
（2）由f（1）=a+b+c,f（-1）=a-b+c,f（0）=c
得
并且f（1）、f（-1）、f（0）不能同时等于1或-1,所以所求函数为：f（x）=2x2-1或f（x）=-2x2+1或f（x）=-x2-x+1或f（x）=x2-x-1或f（x）=-x2+x+1或f（x）=x2+x-1.
[例2]设f（x）为定义在R上的偶函数，当x≤-1时，y=f（x）的图象是经过点（-2,0），斜率为1的射线，又在y=f（x）的图象中有一部分是顶点在（0,2），且过点（-1,1）的一段抛物线，试写出函数f（x）的表达式，并在图中作出其图象。
命题意图：本题主要考查函数基本知识、抛物线、射线的基本概念及其图象的作法，对分段函数的分析需要较强的思维能力。因此，分段函数是今后高考的热点题型。属****题目。 知识依托：函数的奇偶性是桥梁，分类讨论是关键，待定系数求出曲线方程是主线。
错解分析：本题对思维能力要求很高，分类讨论、综合运用知识易发生混乱。
技巧与方法：合理进行分类，并运用待定系数法求函数表达式。
解：（1）当x≤-1时，设f（x）=x+b
∵射线过点（-2,0）。∴0=-2+b即b=2,∴f（x）=x+2.
（2）当-1<x<1时，设f（x）=ax2+2.
∵抛物线过点（-1,1），∴1=a·（-1）2+2,即a=-1
∴f（x）=-x2+2.
（3）当x≥1时，f（x）=-x+2
综上可知：f（x）=作图由读者来完成。
●锦囊妙计
本难点所涉及的问题及解决方法主要有：
1.待定系数法，如果已知函数解析式的构造时，用待定系数法；
2.换元法或配凑法，已知复合函数f[g（x）]的表达式可用换元法，当表达式较简单时也可用配凑法；
3.消参法，若已知抽象的函数表达式，则用解方程组消参的方法求解f（x）；
另外，在解题过程中经常用到分类讨论、等价转化等数学思想方法。
●歼灭难点训练
一、选择题
1.（****）若函数f（x）=（x≠）在定义域内恒有f[f（x）]=x,则m等于（ ）
A.3 B. C.- D.-3
2.（*****）设函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称，在x≤1时，f（x）=（x+1）2-1,则x>1时f（x）等于（ ）
A.f（x）=（x+3）2-1 B.f（x）=（x-3）2-1
C.f（x）=（x-3）2+1 D.f（x）=（x-1）2-1
二、填空题
3.（*****）已知f（x）+2f（）=3x,求f（x）的解析式为_________.
4.（*****）已知f（x）=ax2+bx+c,若f（0）=0且f（x+1）=f（x）+x+1,则f（x）=_________.
三、解答题
5.（****）设二次函数f（x）满足f（x-2）=f（-x-2），且其图象在y轴上的截距为1,在x轴上截得的线段长为，求f（x）的解析式。
6.（****）设f（x）是在（-∞，+∞）上以4为周期的函数，且f（x）是偶函数，在区间[2,3]上时，f（x）=-2（x-3）2+4,求当x∈[1,2]时f（x）的解析式。若矩形ABCD的两个顶点A、B在x轴上，C、D在y=f（x）（0≤x≤2）的图象上，求这个矩形面积的最大值。
7.（*****）动点P从边长为1的正方形ABCD的顶点A出发顺次经过B、C、D再回到A,设x表示P点的行程，f（x）表示PA的长，g（x）表示△ABP的面积，求f（x）和g（x），并作出g（x）的简图。
8.（*****）已知函数y=f（x）是定义在R上的周期函数，周期T=5,函数y=f（x）（-1≤x≤1）是奇函数，又知y=f（x）在[0,1]上是一次函数，在[1,4]上是二次函数，且在x=2时，函数取得最小值，最小值为-5.
（1）证明：f（1）+f（4）=0;
（2）试求y=f（x），x∈[1,4]的解析式；
（3）试求y=f（x）在[4,9]上的解析式。
参考答案
难点磁场
解法一：（换元法）
∵f（2-cosx）=cos2x-cosx=2cos2x-cosx-1
令u=2-cosx（1≤u≤3），则cosx=2-u
∴f（2-cosx）=f（u）=2（2-u）2-（2-u）-1=2u2-7u+5（1≤u≤3）
∴f（x-1）=2（x-1）2-7（x-1）+5=2x2-11x+4（2≤x≤4）
解法二：（配凑法）
f（2-cosx）=2cos2x-cosx-1=2（2-cosx）2-7（2-cosx）+5
∴f（x）=2x2-7x-5（1≤x≤3），即f（x-1）=2（x-1）2-7（x-1）+5=2x2-11x+14（2≤x≤4）。
歼灭难点训练
一、1.解析：∵f（x）=.
∴f[f（x）]==x,整理比较系数得m=3.
答案：A
2.解析：利用数形结合，x≤1时，f（x）=（x+1）2-1的对称轴为x=-1,最小值为-1,又y=f（x）关于x=1对称，故在x>1上，f（x）的对称轴为x=3且最小值为-1.
答案：B
二、3.解析：由f（x）+2f（）=3x知f（）+2f（x）=3.由上面两式联立消去f（）可得f（x）=-x.
答案：f（x）=-x
4.解析：∵f（x）=ax2+bx+c,f（0）=0,可知c=0.又f（x+1）=f（x）+x+1,
∴a（x+1）2+b（x+1）+0=ax2+bx+x+1,即（2a+b）x+a+b=bx+x+1.
故2a+b=b+1且a+b=1,解得a=,b=,∴f（x）=x2+x.
答案：x2+x
三、5.解：利用待定系数法，设f（x）=ax2+bx+c,然后找关于a、b、c的方程组求解，f（x）=.
6.解：（1）设x∈[1,2],则4-x∈[2,3],∵f（x）是偶函数，∴f（x）=f（-x），又因为4是f（x）的周期，∴f（x）=f（-x）=f（4-x）=-2（x-1）2+4.
（2）设x∈[0,1],则2≤x+2≤3,f（x）=f（x+2）=-2（x-1）2+4,又由（1）可知x∈[0,2]时，f（x）=-2（x-1）2+4,设A、B坐标分别为（1-t,0），（1+t,0）（0<t≤1,则|AB|=2t,|AD|=-2t2+4,S矩形=2t（-2t2+4）=4t（2-t2），令S矩=S,∴=2t2（2-t2）·（2-t2）≤（）3=,当且仅当2t2=2-t2,即t=时取等号。∴S2≤即S≤，∴Smax=.
7.解：（1）如原题图，当P在AB上运动时，PA=x;当P点在BC上运动时，由Rt△ABD可得PA=;当P点在CD上运动时，由Rt△ADP易得PA=;当P点在DA上运动时，PA=4-x,故f（x）的表达式为：
f（x）=
（2）由于P点在折线ABCD上不同位置时，△ABP的形状各有特征，计算它们的面积也有不同的方法，因此同样必须对P点的位置进行分类求解。
如原题图，当P在线段AB上时，△ABP的面积S=0;当P在BC上时，即1<x≤2时，S△ABP=AB·BP=（x-1）；当P在CD上时，即2<x≤3时，S△ABP=·1·1=;当P在DA上时，即3<x≤4时，S△ABP=（4-x）。
故g（x）=
8.（1）证明：∵y=f（x）是以5为周期的周期函数，∴f（4）=f（4-5）=f（-1），又y=f（x）（-1≤x≤1）是奇函数，∴f（1）=-f（-1）=-f（4），∴f（1）+f（4）=0.
（2）解：当x∈[1,4]时，由题意，可设f（x）=a（x-2）2-5（a≠0），由f（1）+f（4）=0得a（1-2）2-5+a（4-2）2-5=0,解得a=2,∴f（x）=2（x-2）2-5（1≤x≤4）。
（3）解：∵y=f（x）（-1≤x≤1）是奇函数，∴f（0）=-f（-0），∴f（0）=0,又y=f（x） （0≤x≤1）是一次函数，∴可设f（x）=kx（0≤x≤1），∵f（1）=2（1-2）2-5=-3,又f（1）=k·1=k,∴k=-3.∴当0≤x≤1时，f（x）=-3x,当-1≤x<0时，f（x）=-3x,当4≤x≤6时，-1≤x-5≤1,∴f（x）=f（x-5）=
-3（x-5）=-3x+15,当6<x≤9时，1<x-5≤4,f（x）=f（x-5）=2[（x-5）-2]2-5=2（x-7）2-5.∴f（x）=.
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